高数上知识点大全整理

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极限与连续

数列的极限

数列

数列的定义

正整数集合$N$上的一个函数$f=x_{n}$
通项：$x_{n}$

数列的单调性

数列的有界性

有界数列：对于数列{${x_{n}}$}，存在数$M>0$，恒有$|x_{n}|\leq M$。即又有上界又有下界

数列极限

• 收敛：如果当$n$无限增大时，数列{${x_n}$}的一般项$x_{n}$能无限接近某个确定的常数$A$，$A$成为极限，称为${x_{n}}$收敛，反之发散
  例：-1、1、-1、1……有是发散的
  例：$x_{n}=\frac{n-1}{n}$此处的-1可以忽略不记，因为太小了，所以极限是1

  收敛数列的性质

• 唯一性：如果数列{$x_{n}$}收敛，那么它的极限唯一（反之不行）

  • →无界一定发散

• 有界性：收敛数列必是有界数列

• 保（正负）号性：在 0~极限 中，如果有正的，那么全是正的（反之亦然）

  一元函数的极限

  一元函数极限的概念

  自变量趋于无穷大的一元函数极限

• $\lim_{ x \to \infty }f(x)=A$
  如果存在，就是收敛，反之发散
  分为正负

• $\lim_{ x \to +\infty }f(x)=A 且 \lim_{ x \to -\infty }f(x)=A \iff \lim_{ x \to \infty }f(x)=A$（上下限）

---
title: 极限为0
xLabel: 
yLabel: 
bounds: [-10,10,-10,10]
disableZoom: false
grid: true
---
f(x)=1/x

自变量趋于有限值时的一元函数的极限

不一定是函数值
例：
$$
f(x) = \begin{cases}
x+1, & x < 1 \
3 & x = 1 \
3x-1 & x>1
\end{cases}
$$
当x→1函数极限是2，但是函数值是3（因为事实上达不到1）

• 左极限和右极限（$x\to x^+和x\to x^-$）

• $\lim_{ x \to +x_{0}^- }f(x)=A 且 \lim_{ x \to x_{0}^+ }f(x)=A \iff \lim_{ x \to x_{0} }f(x)=A$
  即左右相等才能说是极限

  一元函数极限的性质

• 唯一性：如果极限存在，那么就是唯一的

• 局部有界性

• 局部保号性

  一元函数极限的运算性质

  函数四则运算的极限

$$
\begin{aligned}
&\lim [f(x) \pm g(x)] = \lim f(x) \pm \lim g(x) \
&\lim [f(x) \cdot g(x)] = \lim f(x) \cdot \lim g(x) \
&\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}, \quad \lim g(x) \neq 0
\end{aligned}
$$

这就是极限的四则运算法则的标准表述。

• 推论：

• $\lim[f(x)]^n=lim[f(x)]^n$

• $\lim[Cf(x)]=CA$

• 运算时需要保证所有函数极限存在且有意义

  函数复合运算的极限

  如果$\lim_{ x \to x_{0} }g(x)=u_{0}，\lim_{ u \to u_{0} }f(u)=A$那么$\lim_{ x \to x_{0}} f[g(x)]=\lim_{ u \to u_{0 }} f(u)=a$
  由内向外依次求极限，里面的极限值当外面的边界

  两个重要极限

• 极限存在准则1：在$x\to x_{0}$的变化过程中，函数$f(x)、g(x)、h(x)$都定义，且满足$g(x)\le f(x)\leq h(x)$和$\lim_{ x \to x_{0} } = \lim_{ x \to x_{0} }=a$，则有$\lim_{ x \to x_{0} }=A$（两边A，中间一定A）

• 重要极限1（夹逼定理） #背
  $$\lim_{ x \to 0 } \frac{\sin[x]}{x}=1$$

• 极限存在准则2：单调有界数列必有极限

• 重要极限2： #背
  $$\lim_{ x \to \infty } \left( 1+\frac{1}{x} \right)^x=e$$

• 补充

• $$\lim_{ x \to x_{0} } \frac{a_{0}x^m+a_{1}x^{m-1}……}{b_{0}x^n+b_{1}x^{n-1}……}=\begin{cases} \frac{a_{0}}{b_{0} }& n=m \ 0 & n>m \ \infty & n<m\end{cases}$$

  无穷小与无穷大

  概念

• 无穷小：当$x\to x_{0}$时$f(x)$的极限为0，称$f(x)$是当$x\to x_{0}$时（并非负无穷，而是0）

• 无穷大：……为$\infty$，分正无穷大和负无穷大

• 如果$f(x)$无穷大，$\frac{1}{f(x)}$无穷小。如果$f(x)$无穷小且$f(x)\neq 0$，$\frac{1}{f(x)}$无穷大

  无穷小的性质

• 有限个无穷小的代数和是无穷小

• 有界函数与无穷小的乘积是无穷小

• 常数与无穷小的乘积是无穷小

• 有限个无穷小的乘积是无穷小

  无穷小的比较

  比较的概念

  $\beta 和 \alpha$无穷小

• 高阶无穷小（$\beta=o$）：$\lim \frac{\beta}{\alpha}=0$ ($\beta$是$\alpha$的高阶无穷小)

• 低阶无穷小：$\lim \frac{\beta}{\alpha}=\infty$

• 同阶无穷小：$\lim \frac{\beta}{\alpha}=C (C\neq 0)$

  • 等阶无穷小（$\alpha \sim \beta$)：$\lim \frac{\beta}{\alpha}=1$

    应用

    等价无穷小关系： #背
    $$\begin{align} \sin x \sim x \ \arcsin x \sim x \ \tan x \sim x\ \arctan x \sim x \ e^x -1\sim x \ a^x-1 \sim x\ln a(a>0) \ 1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2 \ \ln(1+x) \sim x \ (1+x)^a-1 \sim ax(a\neq 0) \end{align}$$
    当$a、a’、b、b’$都是无穷小，$aa’、bb’$，$lim \frac{a’}{b’}$存在或无穷大
    $$\lim \frac{a}{b} = \lim \frac{a’}{b’} $$

    一元函数的连续性

    一元函数连续的概念

    定义

    有定义 + $x\to x_{0}$极限存在 + $\lim_{ x \to x_{0} }f(x)=f(x_{0})$ = 函数在$x_{0}$处连续
    左连续、右连续

    区间上连续

    间断点及其类型

    即不连续 #背

$$
间断点\begin{cases}
第一类间断点 \begin{cases} 跳跃间断点：左右极限存在不相等 \ 可去间断点：x_{0}处没有定义或 \lim_{ x \to x_{0} }f(x)\neq f(x_{0}){}\end{cases}\
第二类间断点 \begin{cases} 无穷间断点：至少一个极限是无穷 \ 震荡间断点：至少一个极限不存在\end{cases}
\end{cases}
$$

一元连续函数的运算与性质

一元连续函数的运算与初等函数的连续性

四则运算法则

两个一元函数在$x_{0}$连续，那么四则依然连续

反函数的连续性

如果一元函数单调且连续，反函数也一样

复合函数的连续性

$\lim_{ x \to x_{0}}(x)=u_{0}$，$y=f(u)$在$u_{0}$连续，$y=f[g(x)]$有定义，那么当$x\to x_{0}$时$y=f[g(x)]$极限存在并且$\lim_{ x \to x_{0} }f[g(x)]=\lim_{ u \to u_{0} }f[u]=f(u_{0})$
即$\lim_{ x \to x_{0}}f[g(x)]=f[\lim_{ x \to x_{0} }g(x)]$
一切初等函数在其定义区间内连续

闭区间上一元连续函数的性质

• 有界性和最值定理：定义在闭区间上的一元连续函数在该闭区间上有界，且必有最大值最小值 （反之不成立）

• 零点定理：一正一负中间必有0

• 界值定理：零点定理的一般化

  导数与微分

  导数概念

  定义

  导函数记作$f’(x)=y’=\frac{dy}{dx}=\frac{df(x)}{dx}$

  举例 #背

  常用导数公式

• $(C)’ = 0$；

• $(x^\mu)’ = \mu x^{\mu - 1}$；

• $(\sin x)’ = \cos x$；

• $(\cos x)’ = -\sin x$；

• $(\tan x)’ = \sec^2 x$；

• $(\cot x)’ = -\csc^2 x$；

• $(\sec x)’ = \sec x \tan x$；

• $(\csc x)’ = -\csc x \cot x$；

• $(a^x)’ = a^x \ln a \ (a > 0, a \neq 1)$；

• $(e^x)’ = e^x$；

• $(\log_a x)’ = \frac{1}{x \ln a} \ (a > 0, a \neq 1)$；

• $(\ln x)’ = \frac{1}{x}$；

• $(\arcsin x)’ = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$；

• $(\arccos x)’ = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$；

• $(\arctan x)’ = \frac{1}{1 + x^2}$；

• $(\text{arccot } x)’ = -\frac{1}{1 + x^2}$。

  单侧导数

  左导数，右导数
  可导$\leftrightarrow$左右导数存在且相等

  导数的几何意义 #背

  切线方程：$y-y_{0}=f’(x_{0})(x-x_{0})$
  法线（与切线垂直）方程：$y-y_{0}=-\frac{1}{f’(x_{0})}(x-x_{0})$

  导数的可导性和连续性的关系

  可导$\to$连续（反之不可）

  函数的求导法则

  基本求导法则 #背

  $$\begin{align} (u\pm v)’=u’\pm v’ \ (Cu)’=Cu’ \ (u_{1}u_{2}\dots)’=u_{1}’u_{2}\dots u_{n}+u_{1}u_{2}’\dots u_{n}+\dots \ \left( \frac{u}{v} \right)’=\frac{u’v-uv’}{v^2}\end{align}$$

  复合函数的求导

  链式法则：由外向内依次导，dy/dx是y对x求导
  $$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} · \frac{du}{dx} = f’(u)·g’(x)$$

  反函数求导

  若$x=\phi(y)$单调连续可导，反函数$y=f(x)$可导，且有
  $$f’(x)=\frac{1}{\phi’(y)} / \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}}$$
  反函数的导数=原函数导数的倒数

  高阶导数

  也就是导多少次
  n阶导数记作$y^{(n)}、f^{(n)}、 \frac{d^ny}{dx^n}$
  高阶导数求导法则： #背
  $$(C_{1}u\pm C_{2}v)^{(n)}=C_{1}u^{(n)}\pm C_{2}v^{(n)}$$
  $$(uv)^{(n)}=\sum_{i=1}^nC^k_{n} u^{(k)}v^{(n-k)}$$（莱布尼茨公式）

  隐函数及由参数方程确定的函数的导数

  隐函数的导数

  没有办法直接表达为$y=…$的函数
  将方程左右同时求导，并利用复合函数求导法则进行计算，注意保留$y’$
  对数求导法：左右两边取对数，常用于幂指数函数：$x^{\sin x}=\sin x\ln x$

  由参数方程所确定的函数的导数

  $$
  \begin{cases}

x = x(t)\
y = y(t)
\end{cases}
$$

取第一个的反函数后带入第二个
$$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}} {\frac{dx}{dt}}$$

函数的微分

微分的概念

设函数在某区间有定义，若对某点 $x_0$ 及任意使 $x_0+\Delta x$ 仍在该区间内的增量 $\Delta x$，函数的增量可以表示为

$$
\Delta y = A,\Delta x + o(\Delta x),
$$

其中 $A$ 是常数，$o(\Delta x)$ 表示比 $\Delta x$ 高阶的无穷小，则称函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 可微，$A\Delta x$ 称为函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 对应于自变量增量 $\Delta x$ 的微分，记作 $dy = A,\Delta x$，是线性主部
一元函数可导$\leftrightarrow$可微

微分的不变性

无论u是自变量还是中间变量，函数$y=f(u)$的微分$dy$总可以用$f’(x)$与$du$乘积表示

微分基本公式

$\frac{dy}{dx}=f’(x)$，所以
在结尾加$dx$即可
微分结果只能保留一个$dx$

微分中值定理与导数的应用

微分中值定理

罗尔定理

费马引理

函数$f(x)$在$x_{0}$的某领域$U(x_{0})$内有定义，并且在$x_{0}$处可导，如果对任意的$x\in U(x_{0})$有$f(x)\leq f(x_{0}) / f(x)\geq f(x_{0})$，那么$f’(x)=0$

罗尔定理

若函数$f(x)$满足
(1)在闭区间$[a,b]$上连续（闭连开导）
(2)在开区间$(a,b)$内可导
(3)在区间端点处函数值相等（$f(a)=f(b)$）（两端等高）
则至少存在一点$t\in(a,b)$，使得$f’(t)=0$

拉格朗日中值定理

• 有限增量定理
  若函数$f(x)$满足
  (1)在闭区间$[a,b]$上连续
  (2)在开区间$(a,b)$内可导
  则至少存在一点$t\in(a,b)$，使得$f(b)-f(a)=f’(t)(b-a)$

    <span style="color:rgb(255, 92, 92)">即存在一点的斜率和</span>$ab$<span style="color:rgb(255, 92, 92)">连线的斜率相等</span>
  

• 有限增量公式
  $\Delta y=f’(x+\theta \Delta x)·\Delta x$

• 推论1：如果函数$f(x)$在区间$I$上的导数恒为零，那么$f(x)$在区间$I$上是一个常数

• 推论2：设函数$f(x)$与$g(x)$在区间$I$上恒有$f’(x)=g’(x)$，则在区间$I$上有$f(x)=g(x)+C$

  洛必达法则

  0/0和∞/∞未定式

  #背

• 定理3：
  （1）当$x\to a$，函数$f(x)$及$g(x)$都趋向于0
  （2）在点$a$的某去心领域内，$f’(x)$及$g’(x)$都存在，且$g’(x)\neq 0$
  （3）$\lim_{ x \to a } \frac{f’(x)}{g’(x)}$存在或为无穷大
  则$\lim_{ x \to a } \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{ x \to a } \frac{f’(x)}{g’(x)}$
  可以反复使用定理直到不是未定型

• 定理4（推论）
  （1）当$x\to \infty$，函数$f(x)$及$g(x)$都趋于0
  （2）对于充分大的$|x|，f’(x)，g’(x)$都存在，且$g’(x)\neq0$
  （3）$\lim_{ x \to a } \frac{f’(x)}{g’(x)}$存在或为无穷大
  则$\lim_{ x \to \infty } \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{ x \to \infty } \frac{f’(x)}{g’(x)}$

  其他未定式

  化为正常形式即可

  函数的单调性与曲线的凹凸性

  单调性判定

  导数$>0 \leftrightarrow$ 单调增，反之

  凹凸性判定

  导数的导数$>0 \leftrightarrow$ 凹，反之（斜率一直增加就是凹）

  函数的极值与最值

  极值和求法

• 极值概念是局部性的，导数为0，反之不行

• 设函数在$x_{0}$连续，且在$x_{0}$的某个去心领域$U(x_{0},t)$可导

  • 当$x∈(x_{0}-t,x_{0})$时，$f’(x)>0$，而当$x∈(x_{0},x_{0}+t)$时，$f’(x)<0$，$f(x)$在$x_{0}$取最大值，反之（左增右减）

• 若函数$f’(x_{0})=0$

  • 当$f’’(x_{0})<0$，则$f(x)$在$x_{0}$取极大值，反之（凸且极值）

    最值问题

    不定积分

    不定积分的概念与性质

    原函数的概念

    即导数的原函数

• 原函数有无数个，差值是常数

• 连续函数一定有原函数

  不定积分的概念

  设函数$F(x)$为$f(x)$在区间$I$的一个原函数，那么函数$f(x)$在$I$的全体原函数$F(x)+C$称为$f(x)$的不定积分，记为$\int f(x)dx$，$x$为积分变量
  积分和导数互为逆运算

  基本积分公式 #背

• $\int k\mathrm{d}x = kx + C$（$k$ 是常数）。

• $\int x^\alpha \mathrm{d}x = \frac{x^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} + C$（$\alpha \neq -1$）。

• $\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x = \ln|x| + C$。

• $\int \frac{1}{1 + x^2}\mathrm{d}x = \arctan x + C$。

• $\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\mathrm{d}x = \arcsin x + C$。

• $\int \cos x \mathrm{d}x = \sin x + C$。

• $\int \sin x \mathrm{d}x = -\cos x + C$。

• $\int \frac{1}{\cos^2 x}\mathrm{d}x = \int \sec^2 x \mathrm{d}x = \tan x + C$。

• $\int \frac{1}{\sin^2 x}\mathrm{d}x = \int \csc^2 x \mathrm{d}x = -\cot x + C$。

• $\int \sec x \tan x \mathrm{d}x = \sec x + C$。

• $\int \csc x \cot x \mathrm{d}x = -\csc x + C$。

• $\int e^x \mathrm{d}x = e^x + C$。

• $\int a^x \mathrm{d}x = \frac{a^x}{\ln a} + C$（$a > 0$ 且 $a \neq 1$）
  记得最后加上C

  不定积分的性质 #背

  $$\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$$
  $$\int kf(x)dx=k\int f(x)dx$$

  积分换元法

  第一类换元法

  设$f(u)$具有原函数，$u=\phi(x)$可导，则有换元公式
  $$\int f[\phi(x)]\phi’(x)dx=\left[ \int f(u)du \right]_{u=\phi(x)}$$
  常用凑微分公式

  第二类换元法

  即反方向使用第一类换元法。
  设$x=\phi(t)$是单调可导函数，且$\phi’(t)\neq_{0}$，设$f[\phi(t)]\phi’(t)$具有原函数，则有换元公式
  $$\int f(x)dx=\left[ \int f[\phi(t)]\phi’(t)dt \right]_{t=\phi^-1(x)}$$
  其中$t=\phi^-1(x)$是$x=\phi(t)$的反函数
  当被积函数含有$\sqrt{ a^2\pm x^2 }$或$\sqrt{ x^2-a^2 }$时，可做三角代换，令$x=a\tan t，x=a\sin t，x=a\sec t$化掉根式；如分母自变量次数较高，采用倒代换$x=\frac{1}{t}$

  分部积分法 #背

  $$\int uv’dx=uv-\int u’vdx$$
  $$\int udv=uv-\int vdu$$

  有理函数的积分

  代数预备知识

  有理函数由两个多项式的商表示的函数
  利用多项式除法把假分式化成多项式+真分式

  有理数的积分

  定积分

  定积分的概念与性质

  引例

  定积分的定义

  定积分可以用黎曼和分割的极限来严格定义。常用的定义写作：

  $$
  \int_a^b f(x),dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n f(x_i^*),\Delta x.
  $$

  定积分是一个常数、当$a=b$时为0，当$a>b$时相反

• 设$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，或有界且只有有限个间断点，可积

• 几何意义上是 $y=fx,x=a,x=b,x轴$ 围成的面积（如果在下方就要取相反数）

  定积分的性质

• 线性性：$\int_a^b\big(\alpha f(x)+\beta g(x)\big),dx=\alpha\int_a^b f(x),dx+\beta\int_a^b g(x),dx.$

• （广义）区间可加性：$\int_a^b f(x),dx=\int_a^c f(x),dx+\int_c^b f(x),dx.$

• 保号性：如果$[a,b]上$$f(x)\geq0$则$\int_a^b f(x)\geq0$

• 保序性：如果$[a,b]$上恒有$f(x)\geq g(x)$则$\int_a^b f(x)\geq\int_a^b g(x)$

• 绝对可积性：$|\int_a^b f(x)dx|\leq \int_a^b |f(x)|dx$

• 估值定理：设$f(x)$在区间$[a,b]$上最大值最小值为$M、m$，则$m(b-a)\leq \int_a^b f(x)\leq M(b-a)$

• 定积分中值定理：$\int_a^b f(x)dx=f(\phi)(b-a)$

  微积分基本定理

  引例

  $\int_{a}^b f(x)dx=F(b)-F(a)$

  积分变限函数

  $\Phi(x)=\int_a^x f(t)dt，x \in[a,b]$
  是$f(x)$在$[a,b]$上的一个原函数，且导数为
  $\Phi’(x)=\frac{d}{dx} \int_{a}^x f(t)dt=f(x)$
  即$F’(x)=f(x)$

  牛顿=莱布尼茨公式

  若$F(x)$是连续函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的一个原函数，则
  $\int_a^b f(x)dx = F(b)-F(a)$

  定积分的换元法和分部换元法

  换元法

  第一类换元法

  如$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，定义在区间上的函数$x=\phi (t)$满足

• $\phi(t)$在定义域内有连续导数

• $f(x)$在$\phi(t)$的值域上连续

• $\phi(\alpha)=a，\phi(\beta)=b$
  则

• $\int_a^b f(x)dx=\int_\alpha^\beta f(\phi(t))\phi’(t)dt$
  即

• $\int_\alpha^\beta f(x)dx=\int_a^b f(\phi(t))\phi’(t)dt$

  第二类换元法

  ->奇偶函数在对称积分区间上的性质（双倍/0） / 周期函数的积分性质

  分部积分法

  $u(x)，v(x)$在区间$[a,b]$上有连续导数，则
  $$\int_a^b u(x)v’(x)dx=u(x)v(x) |_{a}^{b} - \int_a^b u’(x)v(x)dx$$

  反常积分

  积分区间无限或者被积函数无界

  积分区间无限的反常积分

  收敛和发散、适用牛顿-莱布尼茨公式
  （收敛：横向无界图形是有限值）

---
title: 
xLabel: 
yLabel: 
bounds: [-10,10,-10,10]
disableZoom: false
grid: true
---
y=1/(1+x^2)

积分区间无限的反常积分敛散性实际上等价于被积函数的原函数在无穷远点处的敛散性

无界函数的反常积分

收敛和发散
（收敛：纵向无界图形是有限值）

---
title: 
xLabel: 
yLabel: 
bounds: [-10,10,-10,10]
disableZoom: false
grid: true
---
y=1/(x^0.5)

定积分的应用

定积分的几何应用

定积分的元素法

1. 大化小

2. 定化变

3. 求和式

4. 取极限

   平面图形的面积

   直角坐标情形

   $$A=\int_a^b|f(x)|dx$$

   极坐标情形

   $$A=\frac{1}{2}\int_\alpha^\beta[\phi(\Phi)]^2d\Phi$$

   体积

   平面截面面积已知的立体的体积

   $$V=\int_a^bA(x)dx$$（$A(x)$为底面积）

   旋转体体积

   $$V=\int_a^b \pi [f(x)]^2dx$$

   平面曲线弧长

• 可求长的

• 光滑曲线

  定积分的物理应用

  常微分方程

  常微分方程的基本概念

  微分方程概念

• 含有未知数的导数或微分的方程叫做微分方程

• 未知数一元函数的是常微分，多元的是偏微分

• 微分方程最高阶导数的阶数称为微分方程的阶

  微分方程的解

  特解、通解

  一阶微分方程

  可分离变量的微分方程

  即可以写成$g(y)dy=f(x)dx$
  分离变量法，即把$dx dy$放到左右两边，然后左右积分

  其次方程

  形如$\frac{dy}{dx}=f\left( \frac{y}{x} \right)$
  利用变量替换，可化为变量分离方程然后再求解

  一阶线性微分方程

  #背
  齐次方程$\frac{dy}{dx}+P(x)y=0$的通解
  $$y=Ce^{-\int P(x)dx}$$
  非齐次方程$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$的通解：
  $$y=e^{\int {Px(x)}}\left( \int Q(x)e^{-\int P(x)dx}+C \right)$$

  二阶线性微分方程

  二阶齐次线性微分方程解的结构

  叠加原理

  二阶非齐次线性微分方程解的结构

  $$y=Y+y*$$$y*$是非齐次方程特解，$Y$是对应齐次方程的通解

  二阶常系数齐次线性方程解的结构

  特征方程

  二阶常系数非齐次方程解的结构